矩阵的奇异值分解svd

矩阵的奇异值分解： 设矩阵 $A$ 为 阶的矩阵，则存在一个分解，使得：$\mathbf{A}=\mathbf{U} \mathbf{\Sigma} \mathbf{V}^{T}$ ，其中$U$ 为 $M*M$ 阶酉矩阵； $\Sigma$为半正定的 阶的对焦矩阵； 而$V$ 为$N*N$ 阶酉矩阵。

$\Sigma$ 对角线上的元素为 $A$ 的奇异值，通常按照从大到小排列。

scipy.linalg.svd(a, 
                 full_matrices=True, 
                 compute_uv=True, 
                 overwrite_a=False,  
                 check_finite=True, 
                 lapack_driver='gesdd')

• a：一个矩阵，形状为(M,N)，待分解的矩阵。
• full_matrices：如果为True，则 $U$ 的形状为(M,M)、 $\mathbf{V}^{T}$ 的形状为(N,N)；否则 $\mathbf{U}$ 的形状为(M,K)、 $\mathbf{V}^{T}$ 的形状为(K,N)，其中 K=min(M,N)
• compute_uv：如果True，则结果中额外返回U以及Vh；否则只返回奇异值
• overwrite_a：一个布尔值，指定是否将结果写到a的存储区。
• overwrite_b：一个布尔值，指定是否将结果写到b的存储区。
• check_finite：如果为True，则检测输入中是否有nan或者inf
• lapack_driver：一个字符串，指定求解算法。可以为：'gesdd'/'gesvd'。默认的'gesdd'。

返回值：

• U： $U$矩阵
• s：奇异值，它是一个一维数组，按照降序排列。长度为 K=min(M,N)
• Vh：就是 $\mathbf{V}^{T}$ 矩阵

基本使用

奇异值分解; $\left[\begin{array}{cccc} 0 & 1 \\ 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}\right]$

from scipy.linalg import svd

a = np.array([
    [0,1],
    [1,1],
    [1,0]
])
u,s,vt = svd(a)

结果：

# u
array([[-0.40824829,  0.70710678,  0.57735027],
       [-0.81649658,  0.        , -0.57735027],
       [-0.40824829, -0.70710678,  0.57735027]])

# s
array([1.73205081, 1.        ])

# vt
array([[-0.70710678, -0.70710678],
       [-0.70710678,  0.70710678]])

参考

• 奇异值分解(SVD)原理与在降维中的应用
• 奇异值分解的揭秘（一）：矩阵的奇异值分解过程