求解特征值和特征向量

scipy.linalg.eig(a, 
                 b=None, 
                 left=False, 
                 right=True, 
                 overwrite_a=False,   
                 overwrite_b=False, 
                 check_finite=True)

• a：一个方阵，形状为(M,M)。待求解特征值和特征向量的矩阵。
• b：默认为None，表示求解标准的特征值问题： $\mathbf{A} \mathbf{x}=\lambda \mathbf{x}$。 也可以是一个形状与a相同的方阵，此时表示广义特征值问题： $\mathbf{A} \mathbf{x}=\lambda \mathbf{B} \mathbf{x}$
• left：一个布尔值。如果为True，则计算左特征向量
• right：一个布尔值。如果为True，则计算右特征向量
• overwrite_a：一个布尔值，指定是否将结果写到a的存储区。
• overwrite_b：一个布尔值，指定是否将结果写到b的存储区。
• check_finite：如果为True，则检测输入中是否有nan或者inf

返回值：

• w：一个一维数组，代表了M特特征值。
• vl：一个数组，形状为(M,M)，表示正则化的左特征向量（每个特征向量占据一列，而不是一行）。仅当left=True时返回
• vr：一个数组，形状为(M,M)，表示正则化的右特征向量（每个特征向量占据一列，而不是一行）。仅当right=True时返回

numpy提供了numpy.linalg.eig(a)来计算特征值和特征向量

有特征值：$\mathbf{A} \mathbf{x}_{r}=\lambda \mathbf{x}_{r}$ ; 左特征值： 为特征值的共轭。

令 $\mathbf{P}=\left[\mathbf{x}_{r 1}, \mathbf{x}_{r 2}, \cdots, \mathbf{x}_{r M}\right]$ $\mathbf{\Sigma}=\left[\begin{array}{ccccc} \lambda_{1} & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \lambda_{2} & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & \lambda_{M} \end{array}\right]$

则有： $\mathbf{A P}=\mathbf{P \Sigma} \Longrightarrow \mathbf{A}=\mathbf{P} \mathbf{\Sigma P}^{-1}$

求解问题

• linalg.eig(A)
  • 返回矩阵的特征值与特征向量
• linalg.eigvals(A)
  • 返回矩阵的特征值
• linalg.eig(A, B)
  • 求解 $\mathbf{A} \mathbf{v}=\lambda \mathbf{B} \mathbf{v}$ 的问题

基本使用

例子

矩阵为： $\mathbf{A}=\left[\begin{array}{lll} 1 & 5 & 2 \\ 2 & 4 & 1 \\ 3 & 6 & 2 \end{array}\right]$ 特征多项式为： $\begin{aligned} |\mathbf{A}-\lambda \mathbf{I}|=&(1-\lambda)[(4-\lambda)(2-\lambda)-6]-\\ & 5[2(2-\lambda)-3]+2[12-3(4-\lambda)] \\ =&-\lambda^{3}+7 \lambda^{2}+8 \lambda-3 \end{aligned}$ 特征根为： $\begin{array}{l} \lambda_{1}=7.9579 \\ \lambda_{2}=-1.2577 \\ \lambda_{3}=0.2997 \end{array}$

求解特征值和特征向量 $\left[\begin{array}{lll} 1 & 5 & 2 \\ 2 & 4 & 1 \\ 3 & 6 & 2 \end{array}\right]$

import numpy as np
from scipy.linalg import eig

a = np.array([[1,5,2],[2,4,1],[3,6,2]])
w,vr=eig(a,right=True)

print(w)

print(vr)

结果：

# 每一个为一个特征值
[ 7.9579162 +0.j -1.25766471+0.j  0.2997485 +0.j]

# 每一列对应一个特征值的特征向量
[[-0.5297175  -0.90730751  0.28380519]
 [-0.44941741  0.28662547 -0.39012063]
 [-0.71932146  0.30763439  0.87593408]]