矩阵的LU分解

linalg.lu

$M*N$ 矩阵 $A$ 的 LU 分解为： $A =PLU$ P 是 M×M 的单位矩阵的一个排列，L 是下三角阵，U 是上三角阵。

可以使用 linalg.lu 进行 LU 分解的求解：

具体原理可以查看维基百科： https://en.wikipedia.org/wiki/LU_decomposition

A = np.array([[1,2,3],[4,5,6]])

P, L, U = linalg.lu(A)

结果：

# p
array([[0., 1.],
       [1., 0.]])

# L
array([[1.  , 0.  ],
       [0.25, 1.  ]])

# U
array([[4.  , 5.  , 6.  ],
       [0.  , 0.75, 1.5 ]])

scipy.linalg.lu_factor

scipy.linalg.lu_factor(a, 
                       overwrite_a=False, 
                       check_finite=True)

• a：方阵，形状为(M,M)，要求非奇异矩阵
• overwrite_a：一个布尔值，指定是否将结果写到a的存储区。
• check_finite：如果为True，则检测输入中是否有nan或者inf

返回:

• lu：一个数组，形状为(N,N)，该矩阵的上三角矩阵就是U，下三角矩阵就是L（L矩阵的对角线元素并未存储，因为它们全部是1）
• piv：一个数组，形状为(N,)。它给出了P矩阵：矩阵a的第 i行被交换到了第piv[i]行

矩阵LU分解： $A=PLU$ 其中： $P$为转置矩阵，该矩阵任意一行只有一个1，其他全零；任意一列只有一个1，其他全零。$L$ 为单位下三角矩阵（对角线元素为1）， $U$为上三角矩阵（对角线元素为0）

基本使用

矩阵 $LU$ 分解 $\left[\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 9 & 1 \\ 27 & 1 & 8 \end{array}\right]$

import numpy as np
from scipy.linalg import lu_factor

a = np.array([[1,2,3],[4,9,1],[27,1,8]])
lu,piv=lu_factor(a)

结果：

# lu
array([[27.        ,  1.        ,  8.        ],
       [ 0.14814815,  8.85185185, -0.18518519],
       [ 0.03703704,  0.22175732,  2.74476987]])

$L$ 为单位下三角矩阵（对角线元素为1）， $U$为上三角矩阵

也可使使用上面的linalg.lu 求出 $L,U$